由条件密度公式，$f_X(x)>0$ 时 $f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)$。两个非零范围取交集，得 $0<y<x<1$，在该区域内乘积为 $3x^2\cdot \frac{3y^2}{x^3}=\frac{9y^2}{x}$，故

对固定 $0<x<1$，${\int }_0^x(\frac{9y^2}{x})dy=3x^2$，恢复所给边缘密度；再对 $x\in (0,1)$ 积分为 $1$，满足归一性。

联合密度非零区域为 $0<y<x<1$。固定 $0<y<1$，可取的 $x$ 范围是 $y<x<1$，因此

在其他 $y$ 处可取密度为零，故

在 $(0,1)$ 上 $\ln y<0$，所以密度非负。分部积分给出 ${\int }_0^1{y}^2\ln ydy=-\frac{1}{9}$，故总积分为 $1$。积分下限必须为 $y$，不能写成 $0$。

将事件区域与密度支撑求交，得到 $0<x<1,0<y<\frac{x}{2}$。先对 $y$ 积分，得

也可先求条件概率。固定 $X=x\in (0,1)$，有

它与 $x$ 无关，再按 $X$ 的密度积分，得 $P\{X>2Y\}={\int }_0^1(\frac{1}{8})3x^{2}dx=\frac{1}{8}$。