取 $f(x)=x-x_0$，$g(x)=\frac{1}{(x-x_0)}$。则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，且 $f(x)g(x)=1$ 的极限存在，但 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限不存在。因此命题错误。