由 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，原积分化为

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x{\sec }^{2}x\mathrm{d}x.$$

分部积分得

$$\frac{1}{2}[x\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\tan x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}[\ln (\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{4}}.$$

代入端点，结果为 $\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\ln 2$。