由 ${\alpha }_3=3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，知向量组 $\{{\alpha }_i\}$ 的秩为 $2$。

设 ${\beta }_3=c{\alpha }_1+d{\alpha }_2$。比较第二、三分量得 $c=\frac{1}{2},d=\frac{3}{2}$，再比较第一分量得 $b=c+3d=5$。

向量 ${\beta }_1$ 与 ${\beta }_3$ 线性无关，因此 $\{{\beta }_i\}$ 的秩为 $2$ 当且仅当三阶行列式为零。计算 $\det ({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=-a+15$，故 $a=15$。