因 $|A|=-1$，矩阵 $A$ 可逆且 $A^{\ast }=-A^{-1}$。由 $A^{\ast }\alpha ={\lambda }_0\alpha$ 可得 $A\alpha =\mu \alpha$，其中 $\mu =-\frac{1}{{\lambda }_0}$。

直接计算 $A\alpha =(1+c-a,-2-b,c-1-a{)}^T$。与 $\mu (-1,-1,1{)}^T$ 比较，得 $a=c$、$\mu =-1$、$b=-3$，并由 $\mu =-\frac{1}{{\lambda }_0}$ 得 ${\lambda }_0=1$。

在 $c=a,b=-3$ 时，$|A|=a-3$。结合 $|A|=-1$，得到 $a=2$，故 $c=2$。