令 $t=\frac{1}{x}$。当 $x\to +\infty$ 或 $x\to -\infty$ 时，分别有 $t\to 0^{+}$ 或 $t\to 0^{-}$，原式为 $g(t)=(\sin t+\cos t{)}^{\frac{1}{t}}$。底数在 $t=0$ 的充分小邻域内为正。

由 $\sin t+\cos t=1+t+o(t)$，有

因此由指数函数的连续性，$\underset{t\to 0}{\lim }g(t)=\mathrm{e}$，两个无穷远方向的极限相同。