先代入 $x=1,y=2$：$z+2=2$，故 $z(1,2)=0$。在该点附近取正底数的隐函数分支，$x,y,z+y$ 均为正，可取对数，将方程化为 $x\ln (z+y)=\ln x+\ln y$。
固定 $y$ 对 $x$ 求导，注意左侧乘积的两个因子都依赖 $x$，得到 $\ln (z+y)+\frac{x{z}_x}{(z+y)}=\frac{1}{x}$。代入 $(x,y,z)=(1,2,0)$，得 $\ln 2+\frac{z_x}{2}=1$，所以 $z_x(1,2)=2-2\ln 2$。
该分支的存在可由 $H(x,y,z)=(z+y{)}^x-xy$ 的连续偏导及 $H_z(1,2,0)=1\ne 0$ 保证，故上述取对数和求导均在合法邻域内进行。

令 $H(x,y,z)=(z+y{)}^x-xy={\mathrm{e}}^{x\ln (z+y)}-xy$。在正底数区域将 $x,y,z$ 视为独立变量，得 $H_x=(z+y{)}^x\ln (z+y)-y$、$H_z=x(z+y{)}^{x-1}$。
先由原方程得 $z(1,2)=0$，故 $H_x(1,2,0)=2\ln 2-2$、$H_z(1,2,0)=1\ne 0$。由隐函数求导公式，

这里求 $H_x$ 时将 $z$ 当独立变量；对已代入 $z(x,y)$ 的恒等式求导时则必须计入 $z_x$，两种操作不可混淆。