2001 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

三角形区域可写为 $0 ⩽ x ⩽ 1$ 、 $1 - x ⩽ y ⩽ 1$ ，其面积为 $\frac{1}{2}$ ，故联合密度在该区域内为 $2$ 。

令 $U = X + Y$ 。当 $1 ⩽ u ⩽ 2$ 时，直线 $x + y = u$ 在区域内对应 $u - 1 ⩽ x ⩽ 1$ ，所以

f_{U} (u) = \int_{u - 1}^{1} 2 d x = 2 (2 - u), 1 ⩽ u ⩽ 2.

其他位置密度为 $0$ 。

于是

E (U) E (U^{2}) = \int_{1}^{2} 2 u (2 - u) d u = \frac{4}{3}, = \int_{1}^{2} 2 u^{2} (2 - u) d u = \frac{11}{6} .

因此

Var (U) = E (U^{2}) - [E (U)]^{2} = \frac{11}{6} - \frac{16}{9} = \frac{1}{18} .

答案