1992 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

已知三阶矩阵

B \neq = 0

，且

B

的每一个列向量都是以下方程组的解：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 0 2 x_{1} - x_{2} + λ x_{3} = 0 3 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0

。

答案

$λ = 1$

证明见解析

查看解析展开

方程组的系数矩阵为

M = 123 2 - 1 1 - 2 λ - 1 .

因为 $B \neq = 0$ ，其至少一个列向量是方程组的非零解，故 $∣ M ∣ = 0$ 。

计算得 $∣ M ∣ = 5 (λ - 1)$ ，所以 $λ = 1$ 。

每个列向量都是方程组的解，故系数矩阵的第一行 $r = (1, 2, - 2)$ 满足 $r B = 0$ 。

若 $∣ B ∣ \neq = 0$ ，则 $B$ 可逆，在 $r B = 0$ 右乘 $B^{- 1}$ 得 $r = 0$ ，与 $r = (1, 2, - 2) \neq = 0$ 矛盾。因此 $∣ B ∣ = 0$ 。