1998 · 数学二 · 第 14 题 · 解答题

在 $x = 1$ 处分段。对第一段令 $x = sin^{2} θ$ ，则

\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{d x}{x - x ^{2}} = 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ = \frac{π}{2} .

第二段中 $x^{2} - x = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ 。令 $u = 2 x - 1$ ，得到

\int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{d x}{x ^{2} - x} = \int_{1}^{2} \frac{d u}{u ^{2} - 1} = arcosh 2 = ln (2 + 3) .

两段在 $x = 1$ 处虽为瑕积分，但均收敛，故原积分为

\frac{π}{2} + ln (2 + 3) .

答案