令 $Y(t)=y(\cos t)$。由于 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\sin t$，有 $y^{\prime }=-\frac{Y^{\prime }}{\sin t}$ 以及 $y^{\prime \prime }=\frac{Y^{\prime \prime }}{{\sin }^{2}t}-\frac{Y^{\prime }\cos t}{{\sin }^{3}t}$。

代入 $1-x^2={\sin }^{2}t$、$x=\cos t$ 后，$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$ 化为 $Y^{\prime \prime }+Y=0$。

其通解为 $Y=C_1\cos t+C_2\sin t$，因 $0<t<\pi$ 有 $\sin t=\sqrt{1-x^2}$，故 $y=C_{1}x+C_2\sqrt{1-x^2}$。

点 $x=0$ 对应 $t=\frac{\pi }{2}$。由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$，由 $y^{\prime }(0)=2$ 得 $C_1=2$，所以特解为 $y=2x+\sqrt{1-x^2}$。