2003 · 数学二 · 第 13 题 · 解答题

设函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + a x ^{3} )}{x - arcsin x}, 6, \frac{e ^{a x} + x ^{2} - a x - 1}{x sin \frac{x}{4}}, x < 0, x = 0, x > 0.

(1) 求使 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续的 $a$ ；
(2) 求使 $x = 0$ 是 $f (x)$ 可去间断点的 $a$ 。

答案

第 1 问

$- 1$

第 2 问

$- 2$

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第 1 问

当 $x \to 0^{-}$ 时， $ln (1 + a x^{3}) = a x^{3} + o (x^{3})$ ，且 $x - arcsin x = - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ ，故左极限为 $- 6 a$ 。

当 $x \to 0^{+}$ 时， $e^{a x} + x^{2} - a x - 1 = (1 + \frac{a ^{2}}{2}) x^{2} + o (x^{2})$ ，且 $x sin \frac{x}{4} = \frac{x ^{2}}{4} + o (x^{2})$ ，故右极限为 $4 + 2 a^{2}$ 。

连续性要求两侧极限都等于 $f (0) = 6$ 。由 $- 6 a = 6$ 得 $a = - 1$ ，并且此时 $4 + 2 a^{2} = 6$ ，故唯一解为 $a = - 1$ 。

第 2 问

由第一问求得的左右极限，极限存在且相等的条件为 $- 6 a = 4 + 2 a^{2}$ ，即 $(a + 1) (a + 2) = 0$ ，所以候选值为 $a = - 1, - 2$ 。

当 $a = - 1$ 时公共极限为 $6 = f (0)$ ，函数连续，不构成间断点；当 $a = - 2$ 时公共极限为 $12 \neq = f (0)$ 。

因此 $x = 0$ 是可去间断点时 $a = - 2$ 。