被积函数是真分式，分母含二重因子 $(x-1{)}^2$，而 $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$。设部分分式分解为

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}.$$

两边同乘分母，利用 $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，得到

$$3x+6=A(x^3-1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1{)}^2.$$

令 $x=1$，得 $9=3B$，即 $B=3$。再比较 $x^3,x^2,x$ 和常数项，得

$$\{\begin{array}{l}A+C=0,\\ 3-2C+D=0,\\ 3+C-2D=3,\\ -A+3+D=6.\end{array}$$

由第三式 $C=2D$、第一式 $A=-2D$，代入第四式得 $3D=3$，所以 $D=1,C=2,A=-2$；第二式也满足。因此

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{(x-1{)}^2}+\frac{2x+1}{x^2+x+1}.$$

逐项积分，第三项分子恰为分母导数，故

$$\begin{array}{rl}I& =-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^2+x+1)+C\\ & =\ln \frac{x^2+x+1}{(x-1{)}^2}-\frac{3}{x-1}+C.\end{array}$$

结果分别在 $(-\infty ,1)$、$(1,+\infty )$ 上成立，两区间的常数可分别选取。求导时三项依次回到 $-\frac{2}{(x-1)}$、$\frac{3}{(x-1{)}^2}$、$\frac{(2x+1)}{(x^2+x+1)}$，由上面的恒等分解，其和正是被积函数。