令 $u=\frac{(1-2x)}{(1+2x)}$，则 $u^{\prime }=-\frac{4}{(1+2x{)}^2}$，且 $1+u^2=\frac{2(1+4x^2)}{(1+2x{)}^2}$，故 $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{(1+4x^2)}$。

又 $f(0)=\frac{\pi }{4}$，而 $\frac{1}{1+4x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{4}^n{x}^{2n}$（$|x|<\frac{1}{2}$），逐项积分得 $f(x)=\frac{\pi }{4}-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(2x{)}^{2n+1}}{2n+1}$。

取 $x=\frac{1}{2}$，原函数值为 $f(\frac{1}{2})=\arctan 0=0$。第一问的幂级数在该端点按交错级数收敛，由 Abel 定理及函数的端点连续性，代入得 $0=\frac{\pi }{4}-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$。

所以 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$。