2000 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

计算曲线积分

I = \oint_{L} \frac{x d y - y d x}{4 x ^{2} + y ^{2}}

，其中

L

是以点

(1, 0)

为中心、

R

为半径的圆周（

R > 1

），取逆时针方向。

答案

$π$

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作变换 $u = 2 x$ 、 $v = y$ ，则

\frac{x d y - y d x}{4 x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{2} \frac{u d v - v d u}{u ^{2} + v ^{2}} .

因 $R > 1$ ，原圆周包围原点且不经过原点。该线性变换保持方向，变换后的闭曲线仍按逆时针方向绕原点一周。

因此

I = \frac{1}{2} \oint d ar g (u + i v) = \frac{1}{2} \cdot 2 π = π .