（1）收敛域。对非零 $x$，相邻项绝对值比的极限为

所以 $|x|<1$ 时绝对收敛，$|x|>1$ 时发散；$x=0$ 显然收敛。在 $x=\pm 1$ 处，级数均为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}$，由莱布尼茨判别法收敛。故收敛域为 $[-1,1]$。
（2）区间内求和。令

则 $S(x)=xg(x)$，这一恒等式在 $x=0$ 也成立。$g$ 的半径为 $1$，在 $|x|<1$ 内可逐项求导：

由 $g(0)=0$，积分得 $g(x)={\int }_0^x\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\arctan x$，故 $S(x)=x\arctan x$。
（3）端点和。已证明两端级数收敛，阿贝尔定理允许从区间内部取极限，得 $S(1)=\frac{\pi }{4}$、$S(-1)=\frac{\pi }{4}$。因此同一公式 $S(x)=x\arctan x$ 在整个 $[-1,1]$ 上成立。