当 $X_3=1$ 时 $Y=X_1$，当 $X_3=0$ 时 $Y=X_2$。按这两个分支用全概率公式，并利用 $X_3$ 与 $(X_1,X_2)$ 独立，得

第一项是同一变量满足两个限制，须取较小界点，等于 $\Phi (\min \{x,y\})$；第二项由 $X_1,X_2$ 独立等于 $\Phi (x)\Phi (y)$。所以

等价地，$x\le y$ 时首项为 $\frac{\Phi (x)}{2}$，$x>y$ 时首项为 $\frac{\Phi (y)}{2}$。两段在 $x=y$ 处一致；任一变量趋于负无穷时函数趋于零，两变量均趋于正无穷时趋于 $1$。
第一分支中 $Y$ 就是 $X_1$ 本身，不能把其联合事件概率误写成两个边缘分布函数的乘积。

令上一问中的 $x\to +\infty$，则 $\Phi (x)\to 1$，且固定 $y$ 时 $\min \{x,y\}=y$，因此

对所有实数 $y$ 都成立，故 $Y$ 服从标准正态分布。

也可直接按 $X_3$ 分解。由相互独立，

所以同样得到 $Y\sim N(0,1)$。