1991 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算二重积分

I = \iint_{D} y d x d y

，其中

D

是由

x

轴、

y

轴与曲线

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

所围成的区域，

a > 0, b > 0

。

答案

$\frac{a b ^{2}}{30}$

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在第一象限内，边界曲线可写为 $y = b (1 - \frac{x}{a})^{2}$ ，其中 $0 \leq x \leq a$ 。

因此

I = \int_{0}^{a} \int_{0}^{b (1 - \frac{x}{a})^{2}} y d y d x = \frac{b ^{2}}{2} \int_{0}^{a} (1 - \frac{x}{a})^{4} d x .

令 $t = \frac{x}{a}$ ，则 $d x = 2 a t d t$ ，从而

I = a b^{2} \int_{0}^{1} t (1 - t)^{4} d t = \frac{a b ^{2}}{30} .