2018 · 数学一 · 第 2 题 · 选择题

设切点为 $(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ 。由曲面的偏导 $z_{x} = 2 x$ 、 $z_{y} = 2 y$ ，切平面方程为

z - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2}) = 2 x_{0} (x - x_{0}) + 2 y_{0} (y - y_{0}),

即 $2 x_{0} x + 2 y_{0} y - z = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 。令其经过 $(1, 0, 0)$ 、 $(0, 1, 0)$ ，得到

2 x_{0} 2 y_{0} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}, = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} .

相减得 $x_{0} = y_{0}$ ，代回得 $2 x_{0} = 2 x_{0}^{2}$ ，所以 $x_{0} = 0$ 或 $1$ 。两切点分别为 $(0, 0, 0)$ 、 $(1, 1, 2)$ ，相应切平面为 $z = 0$ 与 $2 x + 2 y - z = 2$ ，故选 B。
C、D 中的 $x = y$ 不经过给定两点，已不符合要求。A 中的 $z = x + y - 1$ 与曲面联立后得到

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} = 0,

无实数解，二者根本不相交。而 B 中第二平面与曲面联立得 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 0$ ，切点正是 $(1, 1, 2)$ 。两个给定点都不在曲面上，不能直接把它们当作切点。

答案