曲线在 $x=1$ 处的导数为 $f^{\prime }(1)=n$，故切线方程为 $y-1=n(x-1)$。

令 $y=0$，得 ${\xi }_n=1-\frac{1}{n}$。因此 $f({\xi }_n)={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$。

由重要极限，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n={\mathrm{e}}^{-1}$。