2001 · 数学二 · 第 17 题 · 解答题

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积

S

成正比，比例常数

K > 0

。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为

r_{0}

的雪堆在开始融化的

3

小时内融化了其体积的

\frac{7}{8}

，问雪堆全部融化需要多少小时？

答案

6 小时

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半球体积 $V = \frac{2}{3} π r^{3}$ ，半球面面积 $S = 2 π r^{2}$ 。由 $\frac{d V}{d t} = - K S$ 得

2 π r^{2} \frac{d r}{d t} = - 2 K π r^{2},

所以 $r (t) = r_{0} - K t$ 。

3 小时后只剩原体积的 $\frac{1}{8}$ ，故半径变为 $\frac{r _{0}}{2}$ 。于是 $r_{0} - 3 K = \frac{r _{0}}{2}$ ，即 $K = \frac{r _{0}}{6}$ 。令半径降为零，得到总融化时间 $\frac{r _{0}}{K} = 6$ 小时。