2022 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

为来自均值为

θ

的指数分布总体的简单随机样本，

Y_{1}, \dots, Y_{m}

为来自均值为

2 θ

的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中

θ > 0

是未知参数。

(1) 求 $θ$ 的最大似然估计量 $θ^$ ；
(2) 求 $D (θ^)$ 。

答案

第 1 问

$θ = \frac{i = 1 \sum n X _{i} + \frac{1}{2} j = 1 \sum m Y _{j}}{n + m}$ 。

第 2 问

$D (θ) = \frac{θ ^{2}}{n + m}$ 。

查看解析展开

第 1 问

两个总体的密度分别为 $f_{X} (x) = θ^{- 1} e^{- \frac{x}{θ}}$ （ $x > 0$ ）与 $f_{Y} (y) = (2 θ)^{- 1} e^{- \frac{y}{( 2 θ )}}$ （ $y > 0$ ），其余处均为零。记 $S = \sum x_{i} + \frac{1}{2} \sum y_{j}$ ，两组样本相互独立，故正观测值下的联合似然为

L (θ) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{θ} e^{- \frac{x _{i}}{θ}} \prod_{j = 1}^{m} \frac{1}{2 θ} e^{- \frac{y _{j}}{( 2 θ )}} = 2^{- m} θ^{- (n + m)} e^{- \frac{S}{θ}} .

取对数得 $ℓ (θ) = - m ln 2 - (n + m) ln θ - \frac{S}{θ}$ ，求导得 $ℓ^{'} (θ) = \frac{[ S - ( n + m ) θ ]}{θ ^{2}}$ 。它在 $\frac{S}{( n + m )}$ 左侧为正、右侧为负，故最大似然估计量为 $θ = \frac{( \sum X _{i} + \frac{1}{2} \sum Y _{j} )}{( n + m )}$ 。
也可先将 $Y_{j}$ 除以 $2$ ，得到与 $X_{i}$ 同分布的独立指数变量，估计量就是这 $n + m$ 个变量的平均数。

第 2 问

指数分布的方差等于其均值的平方，故 $D (X_{i}) = θ^{2}$ ， $D (Y_{j}) = 4 θ^{2}$ 。组内、组间均独立，所以

D (θ) = \frac{i = 1 \sum n D ( X _{i} ) + \frac{1}{4} j = 1 \sum m D ( Y _{j} )}{( n + m ) ^{2}} = \frac{n θ ^{2} + m θ ^{2}}{( n + m ) ^{2}} = \frac{θ ^{2}}{n + m} .

同理 $E (θ) = \frac{( n θ + m θ )}{( n + m )} = θ$ 。