设切点横坐标为 $a>0$。曲线 $y=\sqrt{x}$ 在该点的切线为

因曲线为凹函数，切线在 $x\ge 0$ 上不低于曲线。

由 $x=0$ 与 $x=2$ 截出的面积为

由 $\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge 2$，等号仅当 $a=1$ 时成立。因此所求切线为 $y=\frac{(x+1)}{2}$，此时最小面积为 $2-\frac{4\sqrt{2}}{3}$。