2017 · 数学一 · 第 9 题 · 填空题

已知函数

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

，则

f^{(3)} (0) =

。

答案

$0$

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（1）使用精确代数恒等式 $\frac{1}{( 1 + x ^{2} )} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{( 1 + x ^{2} )}$ 。余项除以 $x^{3}$ 为 $\frac{x}{( 1 + x ^{2} )} \to 0$ ，所以 $f (x) = 1 - x^{2} + o (x^{3})$ 。
（2） $f$ 在实轴上光滑，具有三阶泰勒展开。由泰勒多项式唯一性，三次项系数为零，故 $f^{(3)} (0) = 3! \cdot 0 = 0$ 。余项须精确到 $o (x^{3})$ ，只知道 $o (x^{2})$ 不能排除其中仍有三次项。

$f (- x) = f (x)$ ，所以 $f$ 是偶函数。因各阶导数存在，依次有 $f^{'}$ 为奇函数、 $f^{''}$ 为偶函数、 $f^{'''}$ 为奇函数。因此 $f^{'''} (0) = - f^{'''} (0)$ ，得到 $f^{(3)} (0) = 0$ 。

直接逐阶求导，得到

f^{'} (x) f^{''} (x) f^{'''} (x) = - \frac{2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}, = \frac{6 x ^{2} - 2}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}, = \frac{12 x ( 1 + x ^{2} ) - 6 x ( 6 x ^{2} - 2 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}} = \frac{24 x - 24 x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}} .

代入 $x = 0$ ，得 $f^{(3)} (0) = 0$ 。