令 $u=\sqrt{2x-1}$，则 $x=\frac{(u^2+1)}{2}$、$\mathrm{d}x=u\mathrm{d}u$。当 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 变到 $1$ 时，$u$ 从 $0$ 变到 $1$。

于是