2023 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则

x^{2} + y^{2} - x y 3 x^{2} + y^{2} = r^{2} (1 - \frac{1}{2} sin 2 θ), = r^{2} (1 + 2 cos^{2} θ) .

记 $g (θ) = 1 - \frac{( sin 2 θ )}{2}$ ，其值恒正，且 $g^{2} \geq \frac{1}{2}$ 。两条射线给出 $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ ，两条曲线给出 $\frac{1}{g ( θ )} \leq r \leq \frac{2}{g ( θ )}$ 。于是

I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{1 + 2 cos ^{2} θ} \int_{\frac{1}{g ( θ )}}^{\frac{2}{g ( θ )}} \frac{d r}{r} = \frac{ln 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{1 + 2 cos ^{2} θ} .

径向上下限之比恒为 $2$ ，故内层积分为 $ln 2 = \frac{( ln 2 )}{2}$ 。剩下的角积分令 $t = tan θ$ ，在此区间 $cos θ > 0$ ，得到

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{1 + 2 cos ^{2} θ} = \int_{0}^{3} \frac{d t}{3 + t ^{2}} = \frac{1}{3} [arctan \frac{t}{3}]_{0}^{3} = \frac{π}{4 3} .

因此 $I = π \frac{ln 2}{( 8 3 )}$ 。

答案