记 $L[y]=y^{\prime }+p(x)y$。求导和乘以固定函数均为线性运算，故 $L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v]$。已知两特解满足 $L[y_1]=L[y_2]=q(x)$。

（1）由第一个组合是非齐次方程的解，有 $L[\lambda y_1+\mu y_2]=(\lambda +\mu )q=q$，即 $(\lambda +\mu -1)q(x)\equiv 0$。题设为非齐次方程，故 $q\not\equiv 0$，从而 $\lambda +\mu =1$。

（2）由第二个组合是齐次方程的解，有 $L[\lambda y_1-\mu y_2]=(\lambda -\mu )q\equiv 0$，同理由 $q\not\equiv 0$ 得 $\lambda -\mu =0$。

联立两式，得到 $\lambda =\mu =\frac{1}{2}$，选 A。B 的系数和为 $-1$，不满足第一条件；C 虽系数和为 $1$，但系数差为 $\frac{1}{3}$，不满足第二条件；D 的系数差为零，但和为 $\frac{4}{3}$，不满足第一条件。