题设只要求函数有定义，没有给出连续性或可导性。按曲线向上弯的凹性约定判断各项。
（1）A 不成立。取 $f(x)=|x|$（$x\ne 0$），而 $f(0)=1$。函数在 $(-1,0)$ 内严格递减，在 $(0,1)$ 内严格递增，但 $0<|x|<1$ 时 $f(x)<f(0)$，所以 $f(0)$ 不是极小值。这里缺少在 $0$ 处连续的前提。
（2）B 不成立。令

在 $0$ 的邻域内 $f(x)=|x|\ge f(0)=0$，所以 $f(0)$ 是极小值。但在 $(\frac{1}{2},1)$ 上 $f(x)=1-x$ 严格递减，故它不在整个 $(0,1)$ 内递增。极小值是局部性质，不能推出题述整段单调性。
（3）C 成立。记 $\phi (x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。任取 $-1\le x_1<x_2<1$，令 $\lambda =\frac{x_2-1}{x_1-1}\in (0,1)$，则 $x_2=\lambda x_1+(1-\lambda )\cdot 1$。由凹性的弦判据，

减去 $f(1)$，再除以负数 $x_2-1$，不等号反向，得到

因此 $\phi$ 在 $[-1,1)$ 单调递增。若采用允许弦上取等号的非严格凹性约定，上述不等号对应改为非严格，结论相应为单调不减。
（4）D 不成立。取 $f(x)=x^4-x^3$，则 $f(1)=0$，$\phi (x)=x^3$ 在 $[-1,1)$ 严格递增。然而 $f^{\prime \prime }(x)=6x(2x-1)<0$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 成立，所以图形不可能在整个 $[-1,1]$ 上为凹。仅固定一个端点的弦斜率单调不足以推出全区间的凹性。
综上选 C。