当 $|x|>|a|$ 且 $x\ne 0$ 时底数为正，令 $g(x)=(\frac{(x+a)}{(x-a)}{)}^x$，则

利用 $\ln (1+u)=u+o(u)$，括号内等于 $\frac{2a}{x}+o(\frac{1}{x})$，所以 $\underset{x\to \infty }{\lim }\ln g(x)=2a$；该展开对两个无穷远方向均成立。当 $a=0$ 时，$g(x)=1$，也与所得结果一致。

由指数函数的连续性，原极限为 ${\mathrm{e}}^{2a}$。