1988 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

已知

y = 1 + x e^{x y}

。

答案

$1$

$2$

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由原式在 $x = 0$ 时得 $y (0) = 1$ 。对 $y = 1 + x e^{x y}$ 求导：

y^{'} = e^{x y} + x e^{x y} (y + x y^{'}) .

代入 $x = 0$ 、 $y (0) = 1$ ，得 $y^{'} (0) = 1$ 。

记 $h (x) = e^{x y}$ ，则原式给出 $y = 1 + x h$ ，从而 $y^{'} = h + x h^{'}$ 、 $y^{''} = 2 h^{'} + x h^{''}$ 。

又 $h^{'} = e^{x y} (y + x y^{'})$ ，故 $h^{'} (0) = 1$ 。于是 $y^{''} (0) = 2 h^{'} (0) = 2$ 。