（1）先求函数表达式。求 $t\to 0$ 的极限时，$x$ 是固定参数。由于分母含 $x$，原式要求 $x\ne 0$。对固定的非零 $x$，当 $t$ 充分接近 $0$ 时底数 $1+\frac{\sin t}{x}>0$，可取对数。由 $\ln (1+u)\sim u$，有

由指数函数连续性，得到 $f(x)=e^x$，但仍只对 $x\ne 0$ 有定义。
（2）判断间断点。函数在非零处连续，而 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1$，左右极限相等且有限，只有 $f(0)$ 未定义。因此 $0$ 为唯一可去间断点，选 B。化简为 $e^x$ 不能自动补定义 $f(0)$；有限的相同左右极限也排除了跳跃和无穷间断。