由对数的定义域，以下讨论 $x>0$。令 $g(x)=x-{\ln }^{2}x+2k\ln x-1$，有 $g(1)=0$。只需证明 $g$ 单调递增，便可使 $g(x)$ 与 $x-1$ 同号。
求导得

分母为正，故考察分子 $\phi (x)=x-2\ln x+2k$。因 ${\phi }^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{(x-2)}{x}$，$\phi$ 在 $(0,2]$ 上严格递减，在 $[2,+\infty )$ 上严格递增，所以最小值在 $x=2$ 取得。由 $k\ge \ln 2-1$，有

因此 $g^{\prime }(x)\ge 0$，$g$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调不减。当 $x\ge 1$ 时，$g(x)\ge g(1)=0$，且 $x-1\ge 0$；当 $0<x\le 1$ 时，$g(x)\le g(1)=0$，且 $x-1\le 0$。两种情况下均有 $(x-1)g(x)\ge 0$，即原不等式成立。
等号仅在 $x=1$ 取得。事实上，若 $k>\ln 2-1$，则 $g^{\prime }>0$；若 $k=\ln 2-1$，则 $g^{\prime }$ 仅在 $x=2$ 为零，在其余点均为正，$g$ 仍严格递增，所以 $x\ne 1$ 时乘积严格大于零。