1995 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设某产品的需求函数为

Q = Q (P)

，收益函数为

R = P Q

，其中

P

为产品价格，

Q

为需求量（产品的产量），

Q (P)

为单调减函数。当价格为

P_{0}

、对应产量为

Q_{0}

时，边际收益

\frac{d R}{d Q} ∣_{Q = Q_{0}} = a > 0

，收益对价格的边际效应

\frac{d R}{d P} ∣_{P = P_{0}} = c < 0

，需求对价格的弹性

E_{P} = b > 1

。

答案

$P_{0} = \frac{ab}{b - 1}$

$Q_{0} = - \frac{c}{b - 1}$

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记 $Q_{0}^{'} = Q^{'} (P_{0}) < 0$ 。按递减需求函数的正值价格弹性定义，

b = - \frac{P _{0}}{Q _{0}} Q_{0}^{'} .

又因 $R = P Q$ ，把价格视为产量的函数可得

a = \frac{d R}{d Q}_{Q_{0}} = P_{0} + Q_{0} \frac{d P}{d Q} = P_{0} + \frac{Q _{0}}{Q _{0}^{'}} .

由弹性式有 $\frac{Q _{0}}{Q _{0}^{'}} = - \frac{P _{0}}{b}$ ，故 $a = P_{0} (1 - \frac{1}{b})$ 。

解得

P_{0} = \frac{ab}{b - 1} .

沿用第一问的 $Q_{0}^{'} = Q^{'} (P_{0})$ 及弹性关系。对 $R (P) = P Q (P)$ 求导，

c = Q_{0} + P_{0} Q_{0}^{'} .

由 $P_{0} Q_{0}^{'} = - b Q_{0}$ ，得到 $c = (1 - b) Q_{0}$ 。

因此

Q_{0} = \frac{c}{1 - b} = - \frac{c}{b - 1} .

由 $c < 0, b > 1$ 可见 $Q_{0} > 0$ ，与产量含义一致。