2020 · 数学一 · 第 14 题 · 填空题

均匀分布区间长度为 $π$ ，故其上密度为 $\frac{1}{π}$ 。由对称区间上奇函数积分为零，得 $E (X) = 0$ 、 $E (Y) = E (sin X) = 0$ 。于是

Cov (X, Y) = E (X sin X) = \frac{1}{π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x sin x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x d x .

最后一步利用 $x sin x$ 为偶函数。分部积分，取 $u = x$ 、 $d v = sin x d x$ ，则 $v = - cos x$ ，有

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = 0 + [sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1.

所以所求协方差为 $\frac{2}{π}$ 。一阶矩均为零并不表示协方差为零，混合矩仍需计算。

答案