每次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，因此存在可逆矩阵 $Q=Q_1\cdots Q_s$，使 $B=AQ$。右乘 $Q^{-1}$，得 $A=B{Q}^{-1}$，取 $P=Q^{-1}$ 即有 $BP=A$，所以 B 恒成立。

其余三项可用同一反例排除：取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，交换两列得 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。对任何矩阵 $P$，$PA$ 的第二列为零，而 $B$ 的第二列非零，故不存在 $P$ 使 $PA=B$，A 错；同理 $PB$ 的第一列为零，而 $A$ 的第一列非零，C 错。
又 $Ax=0$ 的解为 $x=(0,t{)}^{\mathrm{T}}$，$Bx=0$ 的解为 $x=(t,0{)}^{\mathrm{T}}$，其中 $t\in \mathbb{R}$，两个解集不同，D 错。初等列变换保持秩，但一般不保持齐次方程组的解集。综上选 B。