被积函数在 $(0,1)$ 上为负，故收敛与绝对收敛等价。取 $\frac{1}{2}$ 为分点，分别判别两端。
当 $x\to 0^{+}$ 时，被积函数的绝对值与 $\frac{|\ln x|}{x^p}$ 等价。若 $p<1$，取 $p<q<1$，则 $x^{q-p}|\ln x|\to 0$，故 $\frac{|\ln x|}{x^p}=o(x^{-q})$，由可积的 $x^{-q}$ 比较得收敛。若 $p\ge 1$，在 $0<x<\frac{1}{2}$ 上有 $\frac{|\ln x|}{x^p}\ge \frac{|\ln x|}{x}$，而

所以零端恰要求 $p<1$。
当 $x\to 1^{-}$ 时，$\ln x\sim -(1-x)$、$x^p\to 1$，故被积函数绝对值与 $(1-x{)}^p$ 等价。此端收敛当且仅当 $p>-1$。
取交集得 $-1<p<1$，选 A。两端的临界值分别导致发散，不能取等号。