由 $\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，积分得 $f(x,y)=x^2-y^2+C$。利用 $f(1,1)=2$，得到 $C=2$，即 $f=2+x^2-y^2$。

令 $u=x^2$、$v=y^2$，椭圆域化为 $u\ge 0,v\ge 0,u+\frac{v}{4}\le 1$，而目标函数为 $2+u-v$。

这是三角形区域上的线性函数，只需比较顶点 $(u,v)=(0,0),(1,0),(0,4)$ 的值 $2,3,-2$。因此最大值为 $3$，最小值为 $-2$。