在 $x>0$ 上令 $g(x)=\ln f(x)=x\ln (1+\frac{1}{x})$。则

对任意 $t>0$，令 $h(t)=\ln (1+t)-\frac{t}{(1+t)}$。有 $h(0)=0$，且 $h^{\prime }(t)=\frac{t}{(1+t{)}^2}>0$，故 $h(t)>0$。取 $t=\frac{1}{x}$，得到 $g^{\prime }(x)>0$。

又 $f(x)>0$ 且 $f^{\prime }(x)=f(x)g^{\prime }(x)>0$，所以 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内严格单调增加。