对 $y$ 积分时，$x^y\ln x$ 是 $x^y$ 关于 $y$ 的导数，因此

$${\int }_0^1{x}^y\ln x\mathrm{d}y={x^y|}_0^1=x-1.$$

再计算外层积分：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_0^1{x}^y\ln x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_1^2(x-1)\mathrm{d}x\\ & ={\left(\frac{x^2}{2}-x\right)|}_1^2=\frac{1}{2}.\end{array}$$