1991 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

把所给二型曲面积分写成向量场 $F = (0, - y, z + 1)$ 通过 $S$ 外侧的通量。圆柱面可参数化为

r (θ, z) = (2 cos θ, 2 sin θ, z), 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 2 - 2 cos θ .

这里上界来自 $x + z = 2$ ，且对所有 $θ$ 均非负。

取参数顺序 $(θ, z)$ ，有

r_{θ} \times r_{z} = (2 cos θ, 2 sin θ, 0),

它指向圆柱外侧。因而

F (r) \cdot (r_{θ} \times r_{z}) = (0, - 2 sin θ, z + 1) \cdot (2 cos θ, 2 sin θ, 0) = - 4 sin^{2} θ .

于是

I = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 - 2 c o s θ} - 4 sin^{2} θ d z d θ = - 8 \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ + 8 \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ cos θ d θ = - 8 π .

其中第二个积分在一个完整周期上为 $0$ 。

答案