2002 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设函数

y = f (x)

在

(0, + \infty)

内有界且可导，则（　　）。

A
当 $x \to + \infty lim f (x) = 0$ 时，必有 $x \to + \infty lim f^{'} (x) = 0$
B
当 $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在时，必有 $x \to + \infty lim f^{'} (x) = 0$
正确答案
C
当 $x \to 0^{+} lim f (x) = 0$ 时，必有 $x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = 0$
D
当 $x \to 0^{+} lim f^{'} (x)$ 存在时，必有 $x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = 0$

答案

查看解析展开

若 $x \to + \infty lim f^{'} (x) = L$ 存在且 $L > 0$ ，则充分大的 $x$ 有 $f^{'} (x) > \frac{L}{2}$ 。由拉格朗日中值定理， $f (x)$ 将随 $x$ 至少线性增大，和有界性矛盾； $L < 0$ 时同理矛盾。因此 $L = 0$ ，选项 B 正确。

其他选项不成立。例如 $f (x) = \frac{sin x ^{2}}{x}$ 在无穷远趋于零但 $f^{'} (x) = 2 cos x^{2} - \frac{sin x ^{2}}{x ^{2}}$ 不趋于零； $f (x) = x sin (\frac{1}{x})$ 在 $0^{+}$ 趋于零但导数不趋于零； $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ 有界而 $f^{'} (x) \to 1$ （ $x \to 0^{+}$ ）。