题设只要求一阶偏导数存在，不能直接使用全微分近似；但固定一个变量后得到的一元函数可导，可以使用单调性或中值定理。
（1）比较 $f(0,1)$ 与 $f(1,0)$。插入中间点 $(0,0)$，存在 $\xi ,\eta \in (0,1)$，使

两式相加即得 $f(0,1)<f(1,0)$，D 正确，C 错误。也可直接理解为：从 $(1,0)$ 到 $(0,0)$ 减小 $x$，再到 $(0,1)$ 增大 $y$，两步都使函数值减小。
（2）比较 $f(0,0)$ 与 $f(1,1)$ 时，增大 $x$ 与增大 $y$ 的作用相反，无法确定大小。取 $f=x-y$，两值相等，已同时否定 A、B 为恒真命题。进一步，$f=2x-y$ 时前者小于后者，$f=x-2y$ 时前者大于后者；这些函数均满足 $f_x>0,f_y<0$。
故选 D。