2005 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2, x \geq 0, y \geq 0}

，

⌊ 1 + x^{2} + y^{2} ⌋

表示不超过

1 + x^{2} + y^{2}

的最大整数。计算二重积分

\iint_{D} x y ⌊ 1 + x^{2} + y^{2} ⌋, d x d y

。

答案

$\frac{3}{8}$

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取第一象限极坐标 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ ，则 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 、 $0 \leq r^{2} \leq 2$ ，且 $⌊ 1 + r^{2} ⌋ = 1$ （ $0 \leq r^{2} < 1$ ），为 $2$ （ $1 \leq r^{2} \leq 2$ ）。

因此

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos θ sin θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r + \int_{1}^{2^{\frac{1}{4}}} 2 r^{3} d r = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{3}{8} .

边界 $r = 1$ 不影响积分值。