令 $F(x,y,z)=x^2+\cos (xy)+yz+x$。代入 $P_0=(0,1,-1)$，得 $F(P_0)=1-1=0$，故给定点在曲面上。求偏导得

因此 $\nabla F(P_0)=(1,-1,1)\ne (0,0,0)$。$F$ 光滑，所以曲面在该点的切平面以此梯度为法向量，其方程为 $x-(y-1)+(z+1)=0$，即 $x-y+z=-2$，选 A。
其余三个选项也都经过给定点，但法向量分别为 $(1,1,1)$、$(1,-2,1)$、$(1,-1,-1)$，均不平行于 $(1,-1,1)$，因此不是切平面。仅核对平面经过该点不足以作答。