1992 · 数学一 · 第 5 题 · 填空题

设

A = a_{1} b_{1} a_{2} b_{1} ⋮ a_{n} b_{1} a_{1} b_{2} a_{2} b_{2} ⋮ a_{n} b_{2} \dots \dots \dots a_{1} b_{n} a_{2} b_{n} ⋮ a_{n} b_{n}

，其中

a_{i} \neq = 0, b_{i} \neq = 0

（

i = 1, 2, \dots, n

），则矩阵

A

的秩

r (A) =

。

答案

$1$

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令 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})^{T}$ ， $b = (b_{1}, \dots, b_{n})^{T}$ ，则 $A = a b^{T}$ ，所以 $r (A) \leq 1$ 。

因各 $a_{i}, b_{i} \neq = 0$ ，矩阵 $A$ 非零，故 $r (A) \neq = 0$ 。于是 $r (A) = 1$ 。