（1）凑出对数的标准形式。$x\to 0$ 时 $\cos x\to 1$，且在充分小邻域内为正，故对数有定义。令 $u=\cos x-1\to 0$，由 $\ln (1+u)\sim u$ 得 $\ln (\cos x)\sim \cos x-1$。
（2）求极限。由 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，对分子作整体等价替换，

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

这里应替换为 $\cos x-1$，不能替换为趋于 $1$ 的 $\cos x$。

使用泰勒公式。由 $\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$，记 $u=\cos x-1$，则 $u^2=O(x^4)$。代入 $\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$，得到

$$\ln (\cos x)=-\frac{x^2}{2}+o(x^3).$$

因此 $\frac{\ln (\cos x)}{x^2}=-\frac{1}{2}+o(x)\to -\frac{1}{2}$。

使用洛必达法则。分子与分母都趋于零，且在充分小去心邻域内均可导，分母导数 $2x\ne 0$。导数之比的极限存在：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\tan x}{2x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{x}=-\frac{1}{2}.$$

由洛必达法则，所求极限为 $-\frac{1}{2}$。