令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。在区域 $D$ 上，$0\le r\le |x|+|y|\le \frac{\pi }{2}$，且 $r=\frac{\pi }{2}$ 仅在四个顶点取得。
比较被积函数：$r-\sin r={\int }_0^r(1-\cos t)\mathrm{d}t>0$，$0<r\le \frac{\pi }{2}$，故 $\sin r<r$。另一方面，当 $0<r<\frac{\pi }{2}$ 时，

因为 $r+\frac{\pi }{4}\in (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})$，此区间上的正弦值大于 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。因此在 $0<r<\frac{\pi }{2}$ 上有 $1-\cos r<\sin r<r$。
这些不等式在 $D$ 内除原点外均严格成立；等号只可能出现在原点或顶点，而差函数在正面积区域上连续且严格为正，所以积分也严格满足 $I_3<I_2<I_1$，选 A。这里必须使用整个 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的不等式，仅用原点附近的泰勒近似不足以证明结论。