令 $g(x)=\frac{1}{[x^a(1+x{)}^b]}$。它在正半轴连续且为正，将原积分在 $1$ 处分成两段。
当 $x\to 0^{+}$ 时，$(1+x{)}^b\to 1$，故 $g(x)\sim x^{-a}$，零端点积分收敛当且仅当 $a<1$。
当 $x\to +\infty$ 时，$(1+x{)}^b\sim x^b$，故 $g(x)\sim x^{-(a+b)}$，无穷端积分收敛当且仅当 $a+b>1$。
所以原积分收敛当且仅当 $a<1$ 且 $a+b>1$，选 C。A 的 $b>1$ 不是必要条件，例如 $a=\frac{1}{2},b=1$ 时积分仍收敛；B、D 的 $a>1$ 则使零端发散。