2016 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

设随机变量

X \sim N (μ, σ^{2})

（

σ > 0

），记

p = P {X \leq μ + σ^{2}}

，则（　　）。

A
$p$ 随着 $μ$ 的增加而增加
B
$p$ 随着 $σ$ 的增加而增加
正确答案
C
$p$ 随着 $μ$ 的增加而减少
D
$p$ 随着 $σ$ 的增加而减少

答案

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令 $Z = \frac{( X - μ )}{σ}$ ，则 $Z \sim N (0, 1)$ 。因为 $σ > 0$ ，标准化不改变不等号方向，故

p = P {X \leq μ + σ^{2}} = P {\frac{X - μ}{σ} \leq \frac{σ ^{2}}{σ}} = P {Z \leq σ} = Φ (σ) .

结果不含 $μ$ ，固定 $σ$ 改变 $μ$ 时 $p$ 不变，所以 A、C 不成立。又标准正态密度 $Φ^{'} (x) = (2 π)^{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} > 0$ ，所以 $Φ$ 严格递增， $p$ 随 $σ$ 增加而增加，选 B。
虽然界点中有 $μ$ ，分布中心也随之平移，两者标准化后恰好抵消。