在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上，$1+\cos x\ge 1>0$，故 $\frac{\sin x}{(1+\cos x)}$ 连续。分子为奇函数、分母为偶函数，所以该商为奇函数，在对称区间上的积分为零。
而 $|x|$ 为偶函数，在 $x\ge 0$ 时等于 $x$，因此

$$\begin{array}{rl}I& =0+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\mathrm{d}x\\ & =2{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2}{4}.\end{array}$$

第一项也可直接用原函数 $-\ln (1+\cos x)$ 计算，上下端点的余弦都为零，代限之差仍为零。